Bonjour à tous,
Vous avez probablement vu passer l’outil Cayas+ récemment, et en particulier cette super vidéo l’illustrant.
Cependant, il n’était pas encore clairement illustré la performance du modèle par rapport à d’autres stratégies plus classiques. Ici, je vais vous proposer un premier aperçu des comparaisons que nous sommes en mesure d’effectuer afin de montrer la pertinence du modèle Cayas, même comparativement à des modélisations relativement avancées.
Nous allons comparer ce modèle Cayas à des heuristiques dites statiques :
- 100 % Cash
- Allocation équipondérée
- 60 % actions et 40 % obligations
- Frontière efficiente à la volatilité cible maximale, nous pourrions voir ici la solution de Merton !
Ainsi que des heuristiques dont l’exposition au risque évolue dans le temps :
- Glidepath : on commence avec 100 % actions puis on réduit linéairement l’exposition au risque jusqu’à atteindre 100 % cash au dernier pas de la simulation.
- Liability Driven Investment (LDI) : on calcule la valeur actualisée des dépenses futures et on y alloue une fraction proportionnelle du portefeuille en obligations, jouant le rôle de couverture des passifs. Le surplus éventuel est investi en actions pour chercher de la performance.
- Constant Proportion Portfolio Insurance (CPPI) : on calcule un floor correspondant à la valeur actualisée des dépenses futures, en deçà duquel on repasse à 100 % cash. Au-dessus de ce floor, le cushion (excédent) est investi en actions avec un multiplicateur.
Nous allons, dans ce qui suit, comparer la sortie du modèle Cayas sur différents plans de vie, à la fois des plans de vie qui semblent vraisemblables, mais aussi des plans de vie générés aléatoirement afin de vérifier la robustesse du modèle dans un cadre un peu plus général.
Cas simple : sans dépense ni projet
Dans ce cas simple, nous étudions la performance du modèle sur un plan de vie où il n’y a ni dépense, ni projet.
Nous pouvons voir ici, sur la richesse médiane, que le multiple de richesse entre le début et la fin de la simulation est équivalent entre la frontière obtenue par la solution de ce problème et la solution apportée par le modèle Cayas, elles sont proches d’être équivalentes, tous les points suivent la même courbe. On pourra aussi noter que toutes les autres stratégies, plus ou moins naïves, sont, à volatilité donnée, totalement dominées par le modèle Cayas et la solution de Merton. D’ailleurs, 100 % actions et CPPI n’ont pas disparu, ils se superposent avec LDI. Ce résultat est ici très encourageant puisque, dans ce cadre et pour ce plan de vie, la solution de Merton est la solution optimale, nous ne pouvons qu’espérer nous rapprocher de celle-ci.
À \gamma faible (peu averse au risque), Merton surpasse Cayas en richesse médiane. Merton prescrit une allocation agressive constante sur tout l’horizon. Cayas, lui, gère une grille de richesse discrète et peut réduire le risque sur certaines trajectoires, c’est le fameux : lorsque nous avons gagné la partie, il ne sert plus à rien de prendre le risque d’y rejouer.
À \gamma élevé, Cayas fait légèrement mieux. À forte aversion au risque, la gestion dynamique de Cayas permet d’éviter les mauvaises trajectoires, il réduit l’exposition quand la richesse baisse, ce que Merton, statique, ne fait pas. Cela se traduit par une meilleure médiane à même volatilité globale.
Augmentons la difficulté : ajoutons une retraite + un objectif de décaissement très ambitieux
Dans ce plan de vie, nous allons un peu corser la difficulté. Nous allons simuler un individu épargnant régulièrement pendant 30 ans, puis vient la retraite, où il décaisse et consomme une partie de son capital. Pendant cette retraite, il envisage aussi un décaissement massif, qui représente la quasi-totalité de son patrimoine (chez nous, il s’agit de plan_3_bis, c’est moins sympa comme nom…).
Ici, on présente la probabilité de ruine en fonction du multiple entre richesse moyenne et richesse initiale. On voudrait, assez naturellement, un multiple le plus haut possible et une probabilité de ruine minimale (0 pour bien faire). Les multiples les plus élevés ne peuvent pas être atteints pour les aversions au risque les plus élevées, néanmoins, on voit aussi très bien que, pour ce plan de vie, la stratégie Cayas domine strictement toutes les heuristiques présentées initialement. Pour chaque niveau de rendement espéré sur la trajectoire, la stratégie qui minimise le risque de ruine (sur ce plan de vie[1]) est la stratégie Cayas.
Cas avec un projet de vie important : l’achat d’une maison
Passons maintenant au troisième cas, celui d’un jeune qui cherche à acheter sa résidence principale dans 2 ans. Il a un budget relativement serré et doit placer près de 80 % de son patrimoine dans son apport à horizon 2 ans. Il ne doit évidemment prendre aucun risque, ou très peu, durant ce laps de temps, ce que les stratégies statiques seront bien incapables de gérer.
On voit ici que la stratégie Cayas a bien minimisé le risque de ruine, qui est nul[2]. LDI, utilisant des obligations pour gérer l’apport, a un risque important de ne pas atteindre l’objectif. Seul CPPI arrive à financer l’apport, mais il lui faut beaucoup de temps avant de réinvestir, ce qui représente un coût d’opportunité important pour cette stratégie.
Plan de vie aléatoire.
Dans cette section, nous allons générer des plans de vie aléatoires. Ils se basent sur un plan de vie de 60 ans, avec un patrimoine initial W_0, avec un projet nécessitant une capacité de financement aléatoire L, à un horizon aléatoire ainsi qu’une capacité d’épargne tantôt positive, tantôt négative, et dont le montant est aléatoire. Évidemment, ces aléas sont calibrés pour que le plan de vie soit toujours cohérent. Ici, nous rapportons l’écart en terme d’utilité[3], entre la solution de Merton et la solution Cayas.
| Quartile L/W_0 | Range | Δ_U (med.) | 95% CI | Vol. Cayas / Vol. Merton | Win rate |
|---|---|---|---|---|---|
| Q1 (small) | [0.14, 0.68] | -0.18 | [-0.20, -0.15] | 0.929 | 8.0 % |
| Q2 | [0.68, 1.15] | -0.14 | [-0.16, -0.09] | 0.925 | 33.6 % |
| Q3 | [1.15, 1.77] | +0.01 | [-0.05, +0.19] | 0.906 | 52.0 % |
| Q4 (large) | [1.78, 4.04] | +4.28 | [+2.45, +9.33] | 0.852 | 86.4 % |
On remarque que dans le cas où la dépense est faible, nous nous retrouvons dans un régime proche du régime où Merton est optimale ; dans ce cas, il s’agit de la solution optimale et Cayas reste légèrement en dessous. Par contre, lorsque la dépense augmente, la gestion plus prudente de Cayas reprend le dessus et l’algorithme permet de mieux gérer ce projet de vie et l’écart en terme d’utilité augmente largement.
Ensuite, si l’on rajoute un actif immobilier et que l’on génère des plans de vie aléatoires comme décrits ci-dessus, nous voyons que sa prise en compte apporte une vraie plus-value par rapport à une approche plus naïve par poche :
| Quartile L/W_0 | Range | Δ_U (med.) | 95% CI | Vol. Cayas / Vol. Merton | Win rate |
|---|---|---|---|---|---|
| Q1 (small) | [0.11, 0.66] | +0.57 | [+0.55, +0.59] | 1.224 | 99.2 % |
| Q2 | [0.66, 1.09] | +0.54 | [+0.51, +0.56] | 1.192 | 91.2 % |
| Q3 | [1.09, 1.64] | +0.42 | [+0.36, +0.46] | 1.151 | 78.4 % |
| Q4 (large) | [1.65, 3.24] | +0.22 | [+0.13, +0.29] | 1.059 | 65.6 % |
TLDR
Bon, maintenant que je vous ai bien assommé de chiffres[4], je vais conclure en disant ceci : On est encore loin d’avoir une preuve universelle (si tant est qu’elle existe), mais ces premiers résultats nous confortent dans l’idée que personnaliser l’exposition au risque en fonction du passif de chacun est la voie à suivre et que l’implémentation actuelle semble donner des résultats très intéressants, même comparativement à la solution optimale de Merton le modèle Cayas reste très comparable, mais celui-ci a, en plus, le bénéfice d’être beaucoup plus souple et gérer des plans de vie bien différents.
PS : Je vous promets que personne ne m’a menacé pour écrire ce poste ce jour à cette heure.
J’aimerais beaucoup que ce soit vrai pour tout plan de vie, mais nous sommes encore bien incapables de montrer ce résultat aussi général, quoi qu’un résultat intermédiaire pourrait être donné
↩︎Sauf pour les gamma les plus faibles ↩︎
Et je suis même persuadé que certains d’entre vous n’ont même pas tout lu pour directement venir ici
↩︎