Bonjour à tous,
Dans le premier épisode du podcast consacré au levier, Vincent et moi avons promis un post sur le forum pour accompagner l’oral : la définition du levier qu’on utilise, les quelques chiffres cités au micro et, comme l’a dit Vincent, « des équations si vous aimez vous faire mal ». Les voici, avec en prime le graphique qui me manquait le jour de l’enregistrement et qui résume à lui seul le message de l’épisode : le levier qu’on peut raisonnablement prendre dépend avant tout de la volatilité de ce qu’on lève.
Le levier, de quoi parle-t-on ?
On croise beaucoup de définitions du levier. Celle que nous utilisons chez Cayas n’est peut-être pas la plus canonique, mais elle a l’avantage de s’appliquer à n’importe quel patrimoine : le levier, c’est la part du patrimoine net qui est investie dans des actifs risqués.
Reprenons l’exemple de l’épisode. Une personne possède un appartement de 160 000 €, garde 10 000 € sur un livret et doit encore 130 000 € à sa banque. Son patrimoine net vaut 160 + 10 − 130 = 40 000 €, et elle est exposée à 160 000 € d’actifs risqués : son levier est de 160 / 40 = 400 %. C’est beaucoup, et pourtant c’est une situation très banale, encore moins extrême que celle de quelqu’un qui vient de vider son livret pour faire son apport. À l’inverse, un levier de 100 % décrit un patrimoine entièrement investi, sans dette ni cash qui dort, et un levier de 50 % un patrimoine à moitié en cash.
Cette définition a une conséquence que je trouve importante, et sur laquelle on a insisté à l’oral : le levier se mesure sur le patrimoine entier, jamais sur une ligne. Un ETF World ×2 qui pèse 20 % d’un portefeuille par ailleurs plein d’obligations et d’or ne fait pas un patrimoine levé deux fois, loin de là. Ce qui compte, c’est la part de dette que cette ligne apporte au patrimoine global.
Pourquoi le rendement composé finit toujours par baisser
Allons maintenant plus loin dans l’abstraction. Supposons un patrimoine levé L fois, ramené chaque jour à ce levier. Notons a son rendement excédentaire annuel, c’est-à-dire ce qu’il rapporte au-delà du coût du financement, \sigma sa volatilité annuelle et r le taux de financement. Le rendement composé, celui qui décrit réellement la trajectoire d’un patrimoine, s’écrit à peu près[1] :
Le deuxième terme, L\,a, est le rendement supplémentaire apporté par le levier : il grandit comme L. Le troisième, L^2\sigma^2/2, est le fameux volatility drag : il grandit comme L^2. Doubler le levier double donc le gain mais quadruple la pénalité. Tant que le levier reste modéré, le premier terme l’emporte et le rendement composé monte presque en ligne droite, puis la pénalité rattrape le gain, la courbe s’infléchit, atteint un sommet et redescend. Le rendement composé en fonction du levier est une parabole, et toute la question est de savoir où se trouve son sommet.
Notons aussi ici d’ailleurs, que ce volatility drag s’applique à tous les portefeuilles, même ceux qui n’ont qu’un levier de 1, voire même de 0,5 et qui conservent du cash. Ce volatility drag n’est pas l’apanage des portefeuilles levés.
Le sommet : le levier de Kelly
Le sommet s’obtient en annulant la dérivée de g, et il porte le nom de levier de Kelly :
où S est le ratio de Sharpe, le rendement excédentaire obtenu par unité de risque. La formule dit exactement ce qu’on a essayé d’expliquer à l’oral. Pour un portefeuille donné, le Sharpe mesure la qualité du rendement et la volatilité mesure ce que coûte chaque unité de levier en volatility drag. À Sharpe égal, le levier de Kelly est donc inversement proportionnel à la volatilité : un patrimoine à 10 % de volatilité et un Sharpe de 0,5 culmine à 5x, le même à 20 % de volatilité culmine à 2,5x.
La parabole donne aussi un second repère. Comme elle est symétrique autour de son sommet, la croissance retombe exactement à g(2L_K) = r quand on double le levier de Kelly. A ce niveau de levier, un patrimoine levé ne fait pas mieux qu’un patrimoine resté entièrement en cash, alors qu’il en porte tout le risque. Au-delà, il fait encore moins bien.
Le graphique
En abscisse, la volatilité du patrimoine qu’on lève. En ordonnée, le levier, sur une échelle logarithmique. Comme le sommet dépend du Sharpe, qu’on ne connaît jamais vraiment à l’avance, je l’ai représenté par une bande bleue plutôt que par une seule courbe : son bord bas correspond à un Sharpe de 0,3, un portefeuille plutôt médiocre, et son bord haut à un Sharpe de 0,8, un excellent portefeuille. Sous la bande, en vert, le levier ajoute de la croissance même avec un Sharpe modeste. Au-dessus, en orange, on a dépassé le sommet même avec un excellent Sharpe : on prend plus de risque pour moins de croissance. Plus haut encore, en rouge, on dépasse deux fois ce sommet et on fait moins bien que si l’on avait tout laissé en cash, là encore même avec un portefeuille excellent qui a un Sharpe de 0,8.
Les losanges sont des sommets réellement mesurés, et ils tombent tous les trois dans la bande[2], avec un financement à 3 %[3] et un levier ramené chaque jour à sa cible. Les actions Monde, avec une volatilité de 16,7 % sur 1988-2025, atteignent leur sommet à 2,3x : c’est le « levier 2 » cité dans l’épisode, et on le retrouve dans les chiffres, puisque le rendement composé passe de 8,4 % par an sans levier à 10,9 % à 2x, avant de retomber à 6,4 % à 4x. Le portefeuille équipondéré entre actions Monde, obligations d’État, or et managed futures, beaucoup plus calme avec 6,8 % de volatilité, culmine à 9,6x sur la même période[4]. Situational Awareness enfin, reconstruit à partir des positions publiées par le fonds, affiche 65 % de volatilité et un sommet à 1,2x[5].
Les triangles sont les leviers effectivement pris dont on a parlé. Situational Awareness était levé autour de quatre fois : sur ses dix-huit mois de déclarations, sa stratégie rapportait 37 % par an sans levier, et la même stratégie levée quatre fois aurait perdu 79 % par an. Peut-être que le gérant avait raison sur le fond, je n’en sais rien. Mais la taille du pari, elle, rendait la casse presque certaine. Tesla ×5, avec sa volatilité, avant levier, de l’ordre de 55 %, tombe lui aussi très loin dans la zone rouge, quel que soit le Sharpe qu’on lui prête. Le cas du Bitcoin ×2 est plus instructif qu’il n’en a l’air : avec une volatilité de l’ordre de 50 %, il dépasse le sommet même si on lui prête un excellent Sharpe de 0,8. Avec un Sharpe déjà généreux de 0,5, il tombe pile à deux fois Kelly : on porte alors deux fois la volatilité du Bitcoin pour une croissance espérée égale à celle d’un livret réglementé.
Morale de l’histoire : faire du levier 3 (sur le patrimoine total), comme on le voit parfois sur certains forums, sur des indices/produits aussi volatiles est tout simplement un pari idiot et sûrement perdant à long terme. Mais faire du levier 3 sur un portefeuille équipondéré qui a une volatilité de l’ordre de 6.8% ramènera votre volatilité à une volatilité du même ordre de grandeur qu’un portefeuille 100% actions, sans levier.
Par contre, attention à ce graphique : Kelly est un plafond. Il correspond à ce que voudrait un investisseur qui aurait une aversion au risque de 1 dans l’application Cayas, une tête brûlée. Pour une aversion \gamma quelconque, le levier optimal se déduit de Kelly très simplement :
Avec une aversion de 3, le portefeuille équipondéré ne demande plus qu’un[6] levier d’environ 3,2x. Aussi, attention, le paramètre qui fixe la position du sommet, le rendement excédentaire futur, est aussi le plus difficile à estimer.
Ce qu’il faut retenir
Le volatility drag, c’est l’écart entre le rendement moyen d’un portefeuille et son rendement composé : à rendement moyen égal, plus un portefeuille est volatil, moins il s’enrichit dans la durée. Il vaut environ L^2\sigma^2/2 avec un levier L.
Avant de se demander « quel niveau levier », la première question à se poser est donc « quelle volatilité est-ce que je lève ». Un patrimoine diversifié, donc peu volatil, supporte un levier modéré (voire élevé) qui améliore réellement son rendement composé. Un actif très volatil, même levé un peu, en détruit. C’est aussi pour cela qu’on insiste autant chez Cayas sur la diversification : elle abaisse la volatilité du patrimoine, et c’est elle qui rend le levier utile plutôt que dangereux. Et dans tous les cas, on mesure ce levier sur le patrimoine entier, pas sur la ligne qui le porte.
C’est une approximation dite brownienne, qui traite les rendements comme de petites variations continues. Sur nos séries, elle place le sommet à moins de 2 % du sommet calculé exactement, j’espère que vous m’excuserez de l’approximation ! ↩︎
La bande va de 0,3 à 0,8 justement pour couvrir les cas mesurés. ↩︎
Nos résultats ne dépendent que de l’excès de rendement au-delà du taux de financement : c’est uniquement ce rendement qui compte. ↩︎
Oui je suis désolé Marine va nous faire un AVC, mais sur l’historique, sur nos données, si on était capable de tenir un tel portefeuille, le levier qui aurait maximisé le rendement composé sur l’historique pour un portefeuille équipondéré est… 9,6. Mais ça ne veut surtout pas dire qu’il faut prendre un tel levier en pratique, de toute manière votre courtier ne vous laisserait pas faire. ↩︎
La période ne couvre que février 2025 à juillet 2026 : ce point est une illustration, on ne connaissait pas toutes les positions du fonds, mais je trouvais l’illustration très parlante. Avec une telle volatilité, un levier de quatre rendait la casse presque certaine, quoi qu’on pense du fond. ↩︎
Et oui, ici on va vous faire accepter qu’un levier de 3.2 ce n’est plus tant que ça finalement
↩︎