Bonjour à tous,
Je me suis demandé récemment ce que pourrait être un drawdown[1] « exceptionnel » pour une classe d’actifs donnée. J’ai tenté d’y apporter une réponse, en prenant deux exemples : les actions et les obligations[2].
Une première tentative naïve par l’historique
On peut d’abord regarder les drawdowns historiques. Sur les 56 ans d’historique du MSCI World, cela donne ceci :
| Crise | Creux touché |
|---|---|
| 2008-2009 (subprimes) | – 57,8 % |
| 2000-2003 (bulle internet) | – 50,0 % |
| 1973-1976 (choc pétrolier) | – 42,6 % |
| Mars 2020 (Covid) | – 34,0 % |
| 1990-1991 (guerre du Golfe) | – 28,6 % |
| 2022 (choc taux/inflation) | – 26,2 % |
Ce tableau dit ce qu’il s’est déjà produit. Le – 57,8 % de 2008 est le pire épisode de l’historique, mais cette seule observation ne dit ni à quelle fréquence un drawdown de cette ampleur peut survenir, ni à quel point un creux plus profond serait « exceptionnel »[3].
Les crises profondes[4] sont peu nombreuses. Dix-huit en tout sur cette période. Le marché n’a pas eu l’obligeance de nous fournir davantage de krachs pour améliorer l’échantillon. Et nous n’avons pas des millions d’années d’historique boursier avec lequel jouer non plus.
Il faut alors invoquer un pan de la statistique qui traite explicitement de ce sujet : la théorie des valeurs extrêmes (extreme value theory). Plutôt que d’entrer tout de suite dans les détails, je vais commencer par une petite histoire.
Une nuit de 1953 aux Pays-Bas
Dans la nuit du 31 janvier au 1er février 1953, une tempête fait céder les digues néerlandaises : plus de 1 800 morts, 200 000 hectares inondés, des dégâts équivalents à 10 % du PIB du pays. Les digues existantes n’étaient tout simplement pas dimensionnées pour un événement de cette ampleur.
Le pays se pose alors une question : à quelle hauteur reconstruire, pour résister à la prochaine crue vraiment exceptionnelle ?
La théorie des valeurs extrêmes existe déjà, mais c’est ce genre de question, vitale pour un pays construit sous le niveau de la mer, qui a nourri une tradition de recherche néerlandaise particulièrement active sur le sujet. Laurens de Haan, professeur à Rotterdam, en est l’un des noms les plus cités au monde encore aujourd’hui : c’est en partie son théorème qu’on utilisera plus bas.
Les normes issues de ces travaux sont toujours en vigueur[5] : une digue néerlandaise doit résister à une crue si rare qu’on ne s’attend à la voir dépassée qu’une fois tous les 10 000 ans, soit environ 1 % de risque de la voir au moins une fois au cours d’un siècle.
Retenez cette façon de poser le problème : une hauteur, un horizon, une probabilité.
Ce que la digue et le krach ont en commun
Faisons le lien avec nos finances personnelles. Dans les deux cas, on a une quantité qui varie sans arrêt (le niveau de la mer, le cours d’un indice), un seuil rare qu’on redoute de voir franchi (une crue exceptionnelle, un krach), et une poignée seulement d’épisodes passés qui l’ont vraiment dépassé. Dans les deux cas, on ne cherche pas à décrire toute la variable, juste ce qui se passe une fois ce seuil franchi. Et dans les deux cas, la question posée est au fond la même.
L’idée : ne modéliser que les creux[6]
L’ensemble des hauteurs que peut prendre la mer, des marées tranquilles aux crues les plus violentes, avec leur fréquence respective, c’est ce qu’on appelle sa distribution : les petites variations sont fréquentes, les grosses sont rares, et tout ce qui est entre les deux l’est plus ou moins.
L’ingénieur qui dimensionne la digue ne modélise pas cette distribution en entier. Il regarde uniquement la queue de la distribution : la partie extrême, celle des crues qui dépassent déjà un certain niveau, et il étudie comment leur fréquence diminue à mesure que le niveau grimpe. C’est cette seule information, tirée de la partie qu’on connaît le moins bien, qui permet d’estimer la hauteur d’une crue jamais encore observée.
On fait exactement pareil avec les creux boursiers. On fixe un seuil de perte, ici – 15%, et on ne garde que les crises qui l’ont franchi.
Pourquoi – 15 % ? C’est un choix un peu arbitraire. Si on choisit un seuil plus bas, il ne reste que trois ou quatre crises, c’est trop peu pour faire des statistiques. Si on choisit un seuil plus haut, on gave le modèle de corrections de marché ordinaires, alors que le théorème ne promet quelque chose que sur la vraie queue. – 15 % est assez rare pour être un vrai accident, assez fréquent pour en avoir une poignée.
Une crise est un épisode, pas un point. Une chute qui traîne pendant deux ou trois ans, comme 2000-2003, compte pour une seule crise et pas pour dix, sans quoi on la découperait artificiellement et on sous-estimerait sa vraie profondeur.
Il reste alors dix-huit crises sérieuses sur nos 56 ans : les six du tableau plus haut, et douze plus modestes qui n’y figurent pas mais qui compteront tout autant pour la suite. On ajuste dessus une loi statistique construite spécifiquement pour les queues de distribution : la loi de Pareto généralisée. C’est le théorème de Pickands-Balkema-de Haan (vous avez reconnu le dernier nom, c’est bien lui), qui en fournit une approximation théoriquement justifiée, quelle que soit la
distribution complète d’origine.
C’est qui, Xi ?
Le paramètre qui nous intéresse le plus est \xi (prononcez « Xi »). La forme de cette loi est la suivante :
- Si \xi est négatif, la queue est bornée. Il existe une profondeur maximale, un pire krach possible qu’on ne verra jamais dépassé[7].
- Si \xi est nul, elle décroît exponentiellement. La probabilité de perdre dix points de plus est la même, qu’on soit déjà à – 15 % ou déjà à – 40 %[8].
- Si \xi est positif, elle est épaisse et les creux extrêmes se raréfient plus lentement : plus la chute est déjà avancée, plus il devient facile de continuer à tomber.
Pour notre digue néerlandaise, cela signifierait ceci : avec une queue bornée, il existe une hauteur qui règle le problème pour de bon, avec une queue épaisse, on peut toujours construire plus haut, on n’aura jamais fini.
Ici, l’estimation centrale donne \xi = 0,321, ce qui suggère une queue épaisse. Mais ne faisons pas trop les malins : dix-huit crises, cela reste peu.
La théorie donne un écart-type d’environ 0,32 pour 18 observations, soit un intervalle à 95 % de l’ordre de [-0,30 ; 0,94]. Autrement dit, les données restent compatibles avec les trois cas de figure. Le troisième reste le plus vraisemblable, mais on ne peut pas encore écarter les deux autres sur les seules données.
Ce que ça donne
Une fois ce calcul fait sur nos 18 crises, on se fixe un horizon T et une fréquence p qu’on juge suffisamment rare pour retenir notre attention, et on cherche la profondeur de creux d telle que :
Concrètement, pour p=10\ \% : neuf fois sur dix, sur une période de T années tirée au hasard dans ce modèle, le pire creux rencontré reste moins profond que d, une fois sur dix, il descend au moins jusqu’à d, voire plus bas.
Sur plusieurs couples horizon/fréquence, cette profondeur d peut se calculer d’après notre modèle :
| Horizon | 1 fois sur 4 (25 %) | 1 fois sur 10 (10 %) | 1 fois sur 100 (1 %) |
|---|---|---|---|
| 10 ans | -43,0 % | -57,3 % | -87,0 % |
| 20 ans | -52,8 % | -67,2 % | -92,5 % |
| 50 ans | -66,0 % | -79,1 % | -97,1 % |
Comment lire ce tableau. Sur 20 ans, il y a une chance sur quatre de traverser au moins une crise qui descende jusqu’à – 52,8 % ou plus bas[9]. Mais pour la même durée, ramener la fréquence à une chance sur cent fait grimper la profondeur à – 92,5 %, très au-delà de tout ce que 56 ans d’historique ont montré. Plus l’événement demandé est rare, plus le modèle doit extrapoler loin dans une queue qu’il connaît mal, et plus le chiffre qu’il donne devient fragile, comme on va le voir. À ce stade, le modèle commence à faire de la spéléologie statistique. L’ordre de grandeur reste tout de même intéressant.
Ce graphique illustre directement les colonnes du tableau. Chaque courbe représente la même queue ajustée sur un horizon différent : 10, 20 ou 50 ans. Pour une profondeur donnée sur l’axe horizontal, la hauteur de la courbe dit la probabilité de rencontrer, au moins une fois sur cet horizon, un creux au moins aussi profond. Les trois points colorés marquent le seuil « 1 fois sur 10 » et on y retrouve directement -57,3 %, -67,2 % et -79,1 %. Plus l’horizon s’allonge, plus la courbe se décale vers la droite : à profondeur égale, on a simplement plus d’occasions de croiser une crise, donc une probabilité plus élevée de la voir arriver au moins une fois.
Aussi, il faut bien lire ce tableau, une probabilité de 25 % sur vingt ans correspond, dans le modèle, à un temps de retour moyen d’environ 70 ans. Cela ne signifie pas qu’un tel événement survient régulièrement tous les 70 ans : sur cinquante ans, la probabilité d’en connaître au moins un atteint déjà environ 51 %. À l’autre extrême, un événement ayant 1 % de chances de survenir sur cinquante ans possède un temps de retour moyen proche de 5 000 ans. Même si l’un d’eux survenait demain, aucune horloge ne se déclenche : deux événements peuvent se suivre, comme aucun ne peut survenir pendant toute notre vie d’investisseur.
Quant à l’incertitude du modèle
Comme pour une moyenne, on peut mesurer la précision de ces estimations. La théorie statistique dit que l’incertitude sur la forme de la queue décroît en 1/\sqrt{n} avec le nombre de crises n utilisées pour l’ajuster, exactement comme l’erreur type d’une moyenne décroît avec la taille de l’échantillon.
Avec nos 18 crises, un ré-échantillonnage donne, à 20 ans :
| Fréquence, sur 20 ans | Estimation centrale | Fourchette à 95 % |
|---|---|---|
| 1 fois sur 4 | – 52,8 % | – 31 % à – 65 % |
| 1 fois sur 10 | – 67,2 % | – 34 % à – 78 % |
| 1 fois sur 100 | – 92,5 % | – 37 % à – 99 %[10] |
La vitesse de convergence est simplement lente : passer de 18 à 100 crises ne diviserait l’incertitude que par deux environ. Avec quelques décennies de marché, on ne rattrapera pas ce retard, et pour espérer voir passer, en moyenne, une seule crise avec 1 % de chances de survenir sur cinquante ans, il faudrait environ 5 000 ans d’historique boursier[11].
Cet intervalle suppose par ailleurs une chose : que les dix-huit crises passées tirent dans la même loi que les crises à venir. Autrement dit, il suppose que la structure du marché (réglementation, rôle des banques centrales, etc.) reste suffisamment stable pour que la queue estimée reste valable demain. Ce n’est pas garanti : un changement structurel peut déplacer cette queue sans que rien, dans les 56 ans de données utilisées, ne le signale à l’avance.
L’intervalle qu’on vient de donner mesure l’incertitude statistique à l’intérieur du modèle, il ne peut pas mesurer le risque que le modèle lui-même cesse de s’appliquer.
Et pour les obligations ?
Même méthode, appliquée cette fois à des obligations d’État américaines à échéance intermédiaire (proxy 7-10 ans, 1970-2025), sans rien changer au protocole : mêmes crises regroupées en clusters, même seuil recalibré à la volatilité de l’actif, même loi de Pareto généralisée.
Concernant la forme de la queue de distribution, l’estimation tombe à \xi = 0,099. C’est plus proche de zéro que pour les actions, cela forme donc une queue moins épaisse, ce qui est cohérent avec un marché obligataire historiquement moins sujet aux krachs violents. Mais avec 22 crises, l’écart-type théorique reste d’environ 0,25, soit un intervalle à 95 % de l’ordre de [-0,40 ; 0,60] : là encore, l’incertitude est très large.
| Crise | Creux touché |
|---|---|
| 2021-2025 (remontée des taux) | -23,9 % |
| 1979-1980 (choc Volcker) | -18,3 % |
| 1980-1982 (suite du choc Volcker) | -16,6 % |
| 1987 | -11,9 % |
| 1994-1995 | -10,9 % |
Le pire creux obligataire de ces 56 ans n’est pas 2008, ni même la désinflation Volcker du début des années 1980 : c’est la remontée des taux de 2021 à 2025, encore en cours à la fin de l’échantillon. Sans surprise, l’échelle entière est différente : les obligations sont environ deux fois moins volatiles que les actions, donc le seuil de détection des crises a dû être abaissé en proportion (-6 % de drawdown au lieu de -15 %) pour capturer un nombre comparable d’épisodes sérieux (22 clusters ici, contre 18 pour les actions).
| Horizon | 1 fois sur 4 (25 %) | 1 fois sur 10 (10 %) | 1 fois sur 100 (1 %) |
|---|---|---|---|
| 10 ans | -16,7 % | -21,3 % | -32,7 % |
| 20 ans | -19,9 % | -24,6 % | -36,2 % |
| 50 ans | -24,1 % | -29,0 % | -40,9 % |
Même méthode de lecture du tableau : sur 20 ans, il existe une chance sur dix de traverser un creux d’au moins -24,6 % [12].
Ce qu’il faut en retenir
Ce sont des événements rares, à l’échelle d’une vie. Pour les obligations, une chance sur dix de connaître un drawdown d’au moins -24,6 % sur 20 ans correspond, dans le modèle, à un temps de retour moyen d’environ 190 ans. Et « moyen » ne veut pas dire régulier : deux épisodes peuvent se suivre de près, puis ne plus se reproduire pendant très longtemps. Rien n’exclut non plus qu’un événement encore plus grave survienne au cours d’une même vie d’investisseur.
Pour un portefeuille investi à 100 % en actions, la conclusion à en tirer n’est pas d’essayer de deviner l’ampleur de la prochaine crise (on ne la connaît pas), ni le délai avant qu’elle survienne (on ne la connaît pas davantage). Elle est d’admettre qu’un événement plus sévère que 2008 n’est pas à exclure, et de vérifier que son horizon de placement et sa capacité à tenir sans vendre
résisteraient à un tel scénario.
Chacun place sa digue là où il pourra la tenir, et cette hauteur-là n’est pas la même pour tout le monde.
Deux petites remarques pour finir.
-
Ces estimations concernent séparément les actions et les obligations. Elles ne disent rien de la probabilité qu’un fort drawdown obligataire survienne en même temps qu’un fort drawdown actions, ni de l’ampleur de cette coïncidence. C’est pourtant ce scénario conjoint qui compte le plus pour un portefeuille diversifié.[13]
-
Ce post ne parle que de profondeur. Il ne dit rien du temps que met un creux à se résorber, une question au moins aussi importante pour qui doit tenir sans craquer.
Alors finalement, c’est quoi un drawdown exceptionnel ?
Pour les actions, la réponse est un peu désagréable : un creux de l’ordre de – 50 % n’a rien de vraiment exceptionnel. Sur vingt ans, le modèle lui donne une chance sur quatre. Statistiquement, cela veut dire que vous avez toutes les chances d’en connaître un (au moins) dans votre vie.
La question « Quand arrive le prochain krach ? » n’a pas de réponse. En revanche, la question « Jusqu’où peut-il descendre, et est-ce que je tiens si ça arrive ? » en a une, imparfaite, mais peut-être suffisante pour décider quelque chose aujourd’hui.
Reste donc la question, dont la bonne réponse n’est pas la même pour tout le monde : jusqu’à quelle hauteur vous sentez-vous de continuer à investir ?
La baisse d’un indice entre son dernier plus-haut et le creux qui suit. ↩︎
Rassurez-vous, je ne me pose pas ce genre de questions dans la vie courante
Cette réflexion est en fait originaire d’une autre réflexion autour de la probabilité d’un appel de marge pour un portefeuille donné, réflexion qui est en fait connexe à la question de connaître le drawdown sur un actif donné. Reprenons. ↩︎Attendez encore un peu, on va définir cela un peu plus bas ! ↩︎
Nous le verrons plus tard, mais il faudra définir précisément ce que veut dire profond aussi, que de définitions ! ↩︎
Même si ici j’imagine que je vais largement simplifier, je ne suis pas vraiment expert de ce sujet, mais merci à Mr Hristache qui nous a raconté cette histoire pendant notre cursus, en salle 008, je m’en souviens encore presque 10 ans après, mon dieu je me fais vieux … ↩︎
et non les crues, vous l’avez ? ↩︎
Par exemple -40% ↩︎
Dans ce cas alors, et dans le cas suivant de \xi positif, il n’y a aucune borne et la perte peut-être totale. ↩︎
Pas si loin des -57,8 % déjà vécus en 2008. ↩︎
Autrement dit ici, le modèle nous dit que globalement il en sait rien. ↩︎
Si vous avez de telles données, je suis preneur ! ↩︎
un peu au-delà du pire épisode déjà vécu, à -23,9 % ↩︎
Et là, j’ai bon espoir de pouvoir avancer et de calibrer le levier maximal dans l’outil Cayas à partir de ces outils. Après tout, j’ai pas envie de subir un appel de marge au cours de ma vie ! ↩︎
.
, merci beaucoup 
?
, je ne sais pas, j’ai eu un déclic !
, mais disons que j’ai bien environ 15 ans devant moi pour construire un vrai patrimoine financier .
.
, juste construire un vrai patrimoine financier adossé et cohérent avec mon patrimoine immobilier, adapté à mes besoins et ceux de mes proches 
