# Que se cache-t-il sous le capot du modèle Cayas +?

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**Category:** Allocations & stratégies
**Created:** [Décembre 11, 2025, 7:01 UTC](https://forum.cayas.fr/t/que-se-cache-t-il-sous-le-capot-du-modele-cayas/1069 "2025-12-11T07:01:19Z")
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Bonjour à tous,

Après avoir détaillé le modèle de l’allocation d’actifs dans le plan de vie, il est temps d’aborder le morceau suivant, qui vient de sortir : la **suggestion d’ordres**.

Avoir une allocation cible par classe d’actifs\[1\] est une chose, mais savoir quoi acheter ou vendre, sur quel compte, ce mois-ci, avec 500 € d’épargne et un portefeuille existant à réaligner, en est une autre.

Une première approche consisterait à regarder l’écart avec la cible et à appliquer une règle de trois. C’est une solution optimale dans un monde sans friction, sans taxe, avec des instruments infiniment divisibles et une aversion au risque parfaitement connue. Malheureusement, aucune de ces hypothèses n’est vérifiée en pratique.

Pour résoudre ce casse-tête, nous formulons un problème d’optimisation sous contraintes qui doit respecter une cible stratégique du mieux qu’il peut, tout en minimisant les coûts en cours de vie. Voici une version volontairement simplifiée de la fonction que le modèle optimise :

Pour chaque instrument i dans chaque enveloppe k, le solveur cherche simultanément les montants d’achats u\_{i,k} \ge 0 et de ventes v\_{i,k} \ge 0 (le flux net étant x\_{i,k} = u\_{i,k} - v\_{i,k}) qui minimisent la fonction de coût global :

\min\_{u, v, t} \quad \mathcal{L}\_{\text{total}} = \mathcal{L}\_{\text{tracking}} + \mathcal{L}\_{\text{fiscalité}} + \mathcal{L}\_{\text{frictions}} + \mathcal{L}\_{\text{frais}} + \mathcal{L}\_{\text{liquidité}}

C’est la solution qui minimise \mathcal{L}\_{\text{total}}\[2\] que vous voyez dans l’interface dans la cible annuelle 🙂

Détaillons chaque terme un à un :

### 1. L’écart à la cible stratégique (\mathcal{L}\_{\text{tracking}})

Commençons sans echauffement par le terme le plus velu.

\mathcal{L}\_{\text{tracking}} = \lambda\_{\text{track}} \, (w(u, v) - w^\*)^T \Sigma \, (w(u, v) - w^\*)

- w^\* représente l’allocation cible par classe d’actifs issue de votre plan de vie.
- w(u, v) est l’allocation finale résultante de votre portefeuille après exécution des ordres.
- \Sigma est la matrice de covariance des classes d’actifs.

Ce terme ne mesure pas un simple écart en pourcentage absolu : c’est une **distance pondérée par le risque**. Le solveur concentre donc ses efforts sur les écarts qui modifient le plus le profil de risque.

Avant d’aller plus loin, revenons à la fonction de coût ( \mathcal{L}\_{\text{total}} ) : on y voit des frais de courtage qui s’expriment en euros, la fiscalité qui est aussi en euros, il faut donc trouver un moyen de comparer 300 € de taxe ou de frais de courtage avec le fait d’avoir « 3 % d’actions en moins que prévu ».

Le passage en unité de risque à des euros est porté par le coefficient \lambda\_{\text{track}}. Dans le moteur, il est calculé à partir du coefficient d’aversion au risque \gamma et de la richesse projetée W : \lambda\_{\text{track}} = \gamma W / 2. Autrement dit, le modèle associe à une unité de risque un montant que l’investisseur serait prêt à sacrifier (en euros donc) pour l’éviter, à l’échelle de son portefeuille.

Le solveur peut alors faire un arbitrage :

- « _Vendre cette ligne pour combler l’écart me fait gagner l’équivalent de 50 € de réduction de risque._ »
- « _Mais exécuter cette vente déclenche immédiatement 180 € de flat tax et 10 € de courtage._ »

Dans ce cas, le modèle préfère tolérer temporairement cet écart d’allocation, car payer l’impôt détruirait plus de valeur nette que le gain apporté par le rééquilibrage.

### 2. Le frottement fiscal (\mathcal{L}\_{\text{fiscalité}})

\mathcal{L}\_{\text{fiscalité}} = \lambda\_{\text{tax}} \left[\sum\_{\text{CTO}} \tau\_{\text{PFU}} \cdot \max(0, \text{PV}\_{\text{réalisée}} - \text{MV}\_{\text{reportables}}) + \sum\_{k} \tau^{\text{exit}}\_k \cdot t^{\text{out}}\_k + \text{Drag}\_{\text{futur}} \right]

C’est ici qu’on décide quelle enveloppe est intéressante pour quel instrument :

- **Sur CTO** : vendre une ligne en plus-value déclenche une imposition au taux de PFU renseigné dans le modèle. Le moteur estime la plus-value à partir du PRU ou de la base de coût de la ligne, et impute les éventuelles moins-values reportables au niveau de l’enveloppe.
- **Sur PEA** : la fiscalité des arbitrages internes est nulle (\tau = 0). Vendre une ligne pour en racheter une autre au sein du PEA n’encourt aucune pénalité fiscale. En revanche, une sortie de capital peut générer une fiscalité dépendant notamment de l’ancienneté de l’enveloppe, c’est le terme t^{\text{out}}\_k, que l’on retrouve aussi sur assurance-vie.
- **Le drag fiscal futur** : le modèle estime aussi le coût fiscal prospectif des enveloppes selon l’horizon, les hypothèses de rotation et de rééquilibrage, les retraits et les caractéristiques fiscales. Cela peut notamment rendre moins attractif un actif fréquemment arbitré sur CTO.

Et vous noterez que je cache sciemment ce qui se trouve derrière le terme de « drag ». Ce terme contient des projections sur l’horizon du plan des conséquences fiscales futures d’une position dans chaque enveloppe, par exemple les impôts liés aux rotations attendues, ou à la transmission\[3\]. Ces coûts futurs sont ensuite pondérés et ramenés à une valeur comparable aux autres termes de décision.

### 3. Les frictions de transaction (\mathcal{L}\_{\text{frictions}})

\mathcal{L}\_{\text{frictions}} = \lambda\_{\text{friction}} \, c \sum\_{i, k} (u\_{i,k} + v\_{i,k})

Le modèle applique un taux de friction aux achats et aux ventes. En pénalisant le volume brut (u + v), le solveur s’interdit de faire tourner le portefeuille pour un gain marginal. Si un écart d’allocation est faible, ce coût peut dépasser le gain de tracking : le modèle préférera alors ne rien faire et attendre votre prochain apport d’épargne\[4\].

### 4. Les frais récurrents de gestion (\mathcal{L}\_{\text{frais}})

\mathcal{L}\_{\text{frais}} = \sum\_{i, k} f\_{i,k} \cdot (H\_{i,k} + u\_{i,k} - v\_{i,k})

Tous les comptes ne se valent pas sur la durée : détenir un ETF en direct sur PEA ou CTO ne coûte généralement pas de frais de garde, alors qu’une assurance-vie prélève typiquement 0,3-1 % par an sur les unités de compte. Ce terme intègre les frais de gestion de l’enveloppe, ceux des instruments lorsqu’ils sont renseignés, et certains coûts de financement, sur l’encours final (H + u - v). Il oriente ainsi naturellement les investissements vers les supports les plus sobres en frais quand le choix est possible.\[5\]

### 5. La sécurité de liquidité et trésorerie de précaution (\mathcal{L}\_{\text{liquidité}})

\mathcal{L}\_{\text{liquidité}} = \lambda\_{\text{liq}} \cdot s\_{\text{projet}} + \text{Pénalité}(\text{Trésorerie de précaution})

Si votre plan prévoit un besoin de trésorerie imminent (achat immobilier, projet court terme), ou si votre épargne de précaution passe sous les seuils définis, ce terme donne une forte priorité à la constitution ou au maintien d’une poche de liquidités. Le modèle distingue notamment une zone de danger et une zone de confort, et planifie progressivement la couverture des besoins proches.

* * *

Parce que sinon ce serait un peu trop facile, minimiser cette fonction ne suffit généralement pas, il faut aussi respecter des contraintes réglementaires et opérationnelles\[6\] :

- **Solde espèces toujours positif** : \text{Cash}\_{\text{initial}} + \text{Ventes} - \text{Achats} + \text{Apports} \ge 0 sur chaque compte (impossible de passer un ordre sans liquidités disponibles)\[7\].
- **Plafonds de versement** : pas plus de 150 000 € de versements cumulés sur PEA, et respect strict des plafonds sur les livrets réglementés.
- **Pas de vente à découvert** : v\_{i,k} \le H\_{i,k} (on ne peut pas vendre plus de titres que l’on n’en détient sur la ligne, sauf utilisation explicite du levier/marge sur CTO).
- **Éligibilité des titres** : interdiction d’acheter des titres non éligibles dans les enveloppes\[8\]

* * *

## Le lissage mensuel

Bon, c’est parfait, maintenant, on arrive à avoir des recommandations permettant de respecter l’allocation stratégique, mais on a maintenant un autre problème presque aussi velu : vous aurez remarqué que l’allocation stratégique est à fréquence annuelle. Or, en général, vous épargnez plus régulièrement. Passons maintenant à l’étape suivante : le lissage mensuel.

On pourrait être tenté de jouer à Zénon : chaque mois, on parcourt un douzième de la distance restante jusqu’à la cible, puis un douzième de ce qui reste, et ainsi de suite. Pratique pour ne jamais tout à fait arriver\[9\].

Le plan annuel, dont le modèle est décrit ci-dessus, passe, donc, dans un **lisseur mensuel** \[10\] qui extrait une première tranche exécutable du plan annuel selon 3 garde-fous :

1. **Plafond de rotation** : pas plus d’un certain montant d’arbitrage chaque mois, ce plafond est déterminé dans le KYC.
2. **Corridor de volatilité** : si l’allocation cible est plus agressive que votre portefeuille actuel, la volatilité autorisée n’augmente que pas à pas\[11\].
3. **Tickets minimums** : après l’optimisation, le moteur réalloue, arrondit ou annule les ordres trop petits pour ne conserver que des montants réalistes et exécutables chez votre courtier, hormis Trade Republic, vous auriez l’air fin avec une suggestion d’achat de 0,3 € sur DCAM !
4. **Les dépenses proches doivent être financées** : si un projet approche, le lisseur constitue progressivement la réserve nécessaire. Il peut mobiliser l’épargne de précaution en dernier recours.
5. **Le levier ne doit pas dériver** : lorsqu’on ajoutera les box spreads, un CTO ayant de la dette ne peut pas prendre le levier qu’il veut, il doit respecter les contraintes de marge, qui sont supposées plus strictes que ce que proposent les courtiers.
6. **Certaines opérations ne sont pas découpées** : par exemple, sortir d’une assurance-vie peut être relativement pénible et chronophage, on a donc assez peu envie de le faire en 6 fois, par retrait progressif. Ces sorties-là ne sont pas lissées.

Voilà, nous sommes arrivés au bout, j’espère que vous avez tout compris. Lundi, interro !\[12\]

* * *

1. actions monde, obligations, monétaire, or, matières premières, managed futures … 

2. puis qui passe des contrôles détaillés plus bas 

3. C’est ici qu’on détermine si l’assurance-vie est plus intéressante que le CTO ! 

4. Voire laisser l’allocation légèrement diverger au gré de la fluctuation des marchés 

5. C’est donc ce terme qui permet d’arbitrer entre CW8 et DCAM/WPEA en PEA 

6. Les «&nbsp;sous contraintes&nbsp;» de l’optimisation, viennent des conditions ci-dessous 

7. Les comptes sur marges et les box spreads sont gérés différemment, un box spread apporte des liquidités dans le compte, il suffit donc de combiner la vente d’un box + l’achat de l’actif souhaité pour rentrer dans ce cadre 

8. Si on vous demande d’acheter un fonds non disponible chez votre courtier, vous aurez l’air bien malin avec les suggestions d’ordres ! 

9. 

> **[Paradoxes de Zénon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Z%C3%A9non)**
>
> Les paradoxes de Zénon forment un ensemble de paradoxes imaginés par Zénon d'Élée pour soutenir la doctrine de Parménide, selon laquelle toute évidence des sens est trompeuse et le mouvement est impossible. Plusieurs de ces paradoxes de Zénon ont traversé le temps et été rapportés par Aristote dans la Physique et par Simplicius dans un commentaire à ce sujet. Selon Proclus, au Ve siècle av. J.-C., Zénon d'Élée aurait écrit une suite de 40 arguments destinés à défendre son maître et ami Parménide ...

10. SLSQP, Sequential Least Squares Programming, pour les intimes 

11. Aussi déterminé dans le KYC 

12. Mais rassurez-vous, je ne veux pas corriger ni préparer de questions

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